ウマ娘、やってますか。
タウラス杯、勝ててますか。
決勝で会おう。
勝ち方についての解説はよそに譲るとして（中距離適性Sが本質です）、この記事ではどのくらいのプレイヤーがタウラス杯で勝てているのかをざっくり計算してみます。
準備
グレードリーグに参加した全プレイヤーを強さ順に並べ、0から1までの数を弱い順から均等に割り振っていくことを考えます。たとえば5人のプレイヤーがいる場合、0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1を弱い順に各プレイヤーへ割り振ります。この数を強さ比率と呼ぶことにしましょう。
強さ比率の値は全参加者のうちどのくらいの強さなのかを比率としてそのまま示します。0.4の人は下から数えて全体の40%の強さですし、0.8の人は下から80%＝上位20%に位置する強さのプレイヤーです。
前提
さて、計算を始めていきますが、計算を楽にするためにいくつかの仮定をおきます。直感に反する部分もあると思いますが、あくまでざっくりとした計算ということでいったん受け入れてみてください。
・各プレイヤーの強さはタウラス杯の各ラウンド中には変化しない
・強さ比率が高いプレイヤーは低いプレイヤーに対してレースでかならず勝利する
・ウマ娘のプレイヤーは十分に多いということを理由とした近似計算を許す
計算開始
強さ比率がs（0 < s ≦ 1）のプレイヤーについて考えます。このプレイヤーがラウンド1を通過し、ラウンド2でAグループに配置される確率を求めていきましょう。
ラウンド1には合計8回エントリーすることができ、各エントリーにつき5回レースに出場することができます。いずれかのエントリーで3回以上勝利することで、続くラウンド2でAグループに配置されます。
レース勝利
まず、あるレースで勝利する確率を求めてみましょう。レースでは他の2人との合計3人で対戦します。このとき、強さ比率sであるプレイヤーが勝つためには、対戦相手2人の強さ比率がいずれもs未満である必要があります。
ウマ娘のプレイヤーは十分に多いため、強さ比率がs未満のプレイヤーを引く確率はsと近似できます。2人引いて2人ともs未満である確率はs^2です。なので、ある1つのレースで勝利できる確率はs^2です。ついでに、負ける確率は1-s^2となります。
あるエントリーでのAグループ進出決定率
次に、あるエントリーで3勝以上する確率を計算します。
5レースのうちnレースで勝利する確率は、
5Cn*(s^2)^n*(1-s^2)^(5-n)
なので、あるエントリーで3勝以上する確率は、n=3, 4, 5のときの確率を足し合わせることで求まります。 計算結果は以下。
6s^10-15s^8+10a^6
ラウンド全体でのAグループ進出決定率
続いて、ラウンド＝8エントリー通してのAグループへの進出率を求めます。
8エントリー連続で3勝できない場合にのみAグループに進出できないということになりますので、以下の計算で少なくとも1回は3勝する確率を求められます。
1-(1-(6s^10-15s^8+10s^6))^8
このsについての関数をグラフにするとこんな感じになります。縦軸が進出率、横軸が強さ比率です。
| 強さ比率 | Aグループ進出率 |
|---|---|
| 0.05 | 1.245316509E-6 |
| 0.1 | 7.880208309E-5 |
| 0.15 | 8.804327847E-4 |
| 0.2 | 0.00480757288 |
| 0.25 | 0.01760880395 |
| 0.3 | 0.04961847119 |
| 0.35 | 0.1151107864 |
| 0.4 | 0.2275530487 |
| 0.45 | 0.3896940319 |
| 0.5 | 0.5828024047 |
| 0.55 | 0.7668431001 |
| 0.6 | 0.9008412888 |
| 0.65 | 0.9707788169 |
| 0.7 | 0.9947563778 |
| 0.75 | 0.9995269594 |
| 0.8 | 0.9999842975 |
| 0.85 | 0.9999998922 |
| 0.9 | 1 |
| 0.95 | 1 |
| 1 | 1 |
全グレードリーグ参加者中のAグループ進出者の比率計算
最後に、グレードリーグに参加する全プレイヤーのうちどのくらいがAグループへ進出するのかについて期待値を計算します。
上の関数をsについて0から1まで定積分すると、値は0.5260443166315997ということで、グレードリーグ参加者全体のうち約52.6%のプレイヤーが通過することが期待されます。
計算した感想
・グレードリーグ参加者全体のうち、けっこう多くのプレイヤーが「全然勝てねえ……」と嘆いているであろうということがわかった（下位30%だと突破率5%未満）
・それなりにいけるラインといけないラインがパキッと存在していて、あるところを下回ると全然勝てない……となるんだなあと思った
・現実だと1回めのエントリーで負けがこんだら育成を見直したりガチャ引いたりなどして負けからよいフィードバックを得られるはずなので、実際の突破者はもっと多くなりそう
・ラウンド2でも同様の選別が行われるとすると、Aグループ決勝に出られるのはグレードリーグ参加者全体のうち27.7%のプレイヤー程度ということになる。計算するまではいうてみんな通過するでしょｗと思ってたけど、意外とかっちり選別が進むんだな～
